TÜREV:
SAĞDAN VE SOLDAN TÜREVLER:
Sağdan türev: f+ '(X0)=limit f(X0+h)-f(X0) mevcut ise,bu limit değerine f(x) fonksiyonu
h0+ h
için X=X0 noktası için sağdan türevi denir.
Soldan türev: f- '(X0)=limit f(X0+h)-f(X0) mevcut ise,bu limit değerine f(x) fonksiyonu
h0- h
için X=X0 noktası için soldan türevi denir.
Üslü ifadelerin türevi: Sabit fonksiyonun türevi:
f(x)= Xn ise y'=n Xn-1 f(x)=C ise y'=0
f(x)=C. f(x) ise y'=C. f(x) '
Çarpımın ve bölümün türevi: Trigonometrik ifadelerin türevi:
(f.g)'(X)= f(x) ' .g(X)+ f(x).g(x)' f(x)=sinx ise y'=cosx
(f/g) (X)= f(x) ' .g(X)+ f(x).g(x)' f(x)=cosx ise y'=sinx
f(x)=tgx ise y'=1+tg2x=1/cos2x=sec2x
[ g(X)]2 f(x)=cotx ise y'= -(1+cot2x)= -1/sin2x=-cosec2x
f(x)=secx ise y'=tgx.secx
f(x)=cosecx ise y'= -cotx.cosecx
Bileşik fonksiyonun türevi: Ters fonksiyonun türevi:
y=F(x) ve U=g(x) ise y'=F'(u).U' y= f(x) x=g(y) iken dy/dx=?
dy/dx=1:dx/dy ise f(x) '=1/g'(y)
Kapalı fonksiyonların türevi: Ters trigonometrik fonksiyonların türevi:
f(x,y)=0 ise y'= -f(x)/g(X) y=arcsinx ise y'=1/ 1-X2
y=arctgx ise y'=1/(1+X2)
y=arccosx ise y'=-1/ 1-X2
y=arccotx ise y'=-1/(1+x2)
Logaritmik ve üstel ifadelerin türevi: Hiperbolik fonksiyonların türevi:
y=log au ise y'= U'/U. log ae y=sinhx ise y'=coshx
y=lnU ise y'= U'/U y=coshx ise y'=sinhx
y=ex ise y'= ex
y=e-x ise y'=-e-x
Parametrik denklemler:
X=f(t) ve y=g(t) ise dy/dx=dy/dt:dt/dx
Normal ve teğet formülleri:
Teğetin eğimi : mt =f(xo)'
Normalin eğimi : mn=-1/ f(xo)'
Normalin denklemi:y-y0=-(X-X0)/f(xo)'
Teğetin denklemi :y-y0=f(xo)'(X-X0)
DİFERANSİYEL:
dy/dx)= f(x) '=Limit f(X+X)-f(X)/X=Limit y/x
X0 X0
dx miktarına x’in diferansiyeli denir.
İNTEGRAL:
TEMEL İNTEGRALLER:
1. CEBİRSEL İNTEGRALLER:
• Xn dx=(Xn+1/n+1)+C dx =x+C
• dx/x =lnx+C a dx =adx
• ax dx =ax log ae+C= ax/lna+C (f1+f2)dx=f1 dx+f2 dx
• ex dx =ex+C
2. TRİGONOMETRİK İNTEGRALLER:
• sinx dx=-cosx+C
• cosx dx= sinx +C
• tanx dx=-lncosx+C=lnsecx+C
• cotx dx= lnsinx+C
• secx dx= lnsecx+tgx+C
• cosecx dx= lncosecx-cotx+C
• sinax dx=(-1/a)cos(ax)+C,a0
• sin(ax+b) dx=(-1/a)cos(ax+b)+C,a0
• cosax dx=(1/a)sinax+C,a0
• cos(ax+b) dx=(1/a)sinax+b+C,a0
• tanax dx=(1/a)(lnsecax)+C
• cosec2x dx=-cotx+C
• dx/cos2x=(1+tan2x)dx=tanx+C
• -dx/sin2x=-(1+cot2x)dx=cotx+C
3. HİPERBOLİK FONKSİYONLAR:
• sinhx dx=coshx+C
• coshx dx=sinhx+C
• tanhx dx=lncoshx+C
• cothx dx=lnsinhx +C
• sinhax dx=(1/a)(coshax)+C,a0
• coshax dx=(1/a)(sinhax)+C,a0
4. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR:
• dx/ a2-x2 =arcsin(x/a)+C=-arccos(x/a)+C
• dx/(a2+x2 ) =(1/a)arctan(x/a)+C=(-1/a)arccot(x/a)+C
• dx/x x2-a2 =(1/a)arcsec(x/a)+C=(-1/a)arccosec(x/a)+C
DEĞİŞKEN DÖNÜŞÜMÜ İLE ENTEGRASYON:
• a2-x2 dx=a2/2(Ø+1/2sin2Ø)+C=a2/2(arcsinx/a)+x/2 a2-X2 +C
• dx/ a2-X2 =arcsinx/a
• X2-a2 dx=a2/2[x/a2 X2-a2 -(arccoshx/a)]+C
• dx/ X2-a2 =arccosh(x/a)+C
• X2+a2 dx=1/2[x X2+a2 +a2ln (x+ X2+a2 )] +C
a
• dx/ X2+a2 =arcsinx/a+C
• dx/ (a2+X2) =(1/a)arctanx/a+C
• dx/(X2-1)=Argtanhx+c=ln (1-X)/(1+X) +C
dx/ 1-X2 =Arcsinx+C -dx/ 1-X2 =Arccosx+C
dx/(1+X2) =Arctgx+C - dx/(1+X2) =Arccotx+C
KISMİ(PARTİKAL) ENTEGRASYON:
udv=uv-vdu
BELİRSİZ ŞEKİLLER:
Limit f(x)/g(x)=0/0 ise
xa
1. x=a noktasında f(a)=0,g(a)=0 olduğundan her iki fonksiyonun x-a gibi bir çarpanı var olacağından,belirsizlik durumu ortadan kaldırılabilir.
2. Verilen fonksiyona denk olan ifadeler yerine yazılmak suretiyle veya fonksiyonun pay ya da paydasındaki ifadenin eşleniği ile çarpılarak belirsizlik durumu ortadan kaldırılabilir.
3. L’hospital kuralı uygulanabilir.Fakat bazı durumlarda fonksiyonu incelenmeden bu kural uygulanırsa yanlış sonuçlar elde edilebilir.Dolayısıyla bu kural uygulanırken öncelikle 1. ve 2. durumlar incelenmelidir.
Limit f(x)/g(x)=Limit f '(x)/g '(x)=Limit f "(x)/ g"(x)=...
Xa Xa Xa
Limit f(x)/g(x)=/ ise L’hospital kuralı uygulanır.
xa
Limit f(x).g(x)=.0 ise f(x).g(x)= f(x).1/g(x)=(1/ f(x)).g(x)
xa
Limit f(x)-g(x)=- ise f(x)-g(x)=1/g(x)-1/ f(X)
xa (1/ f(x).g(x))
00,0,1 BELİRSİZLİKLERİ:
X sonlu veya sonsuz bir değere yaklaşırken y= f(X) g(x) fonksiyonu 00,0,1 gibi değerler alıyorsa fonksiyonun her iki yanının logaritması alınıp,daha önce bilinen .0 belirsizliğine dönüştürülür.
Ln(Limit y)= bulunur ve Limit y=e işlemi yapılır.
xa xa
SERİLER VE DİZİLER:
Sn=Serinin genel toplamı
an =Serinin genel terimi
YAKINSAKLIK ŞARTLARI:
İ)Limit Sn=k (Belirli ve sonlu bir sayıysa yakınsaktır.)
na
İİ)Yakınsak seride limit Un=0’dır.
n
y=1/(n+p)(n+r) ise 1/(n+p)(n+r)=A/(n+p)+B/(n+r) şeklinde açılarak Sn hesaplanır.
GEOMETRİK SERİDE TOPLAM:Sn=Limit Sn=Limit a.(1-qn)/(1-q)
n n
KARŞILAŞTIRMA TESTİ:
ak>0 , bk>0 ve ak>bk ise
1. ak yakınsak ise bk yakınsak.
2. bk ıraksak ise ak ıraksak.
3. Un/Vn(Un elimizdeki seri,Vn karşılaştıracağımız seri)=k olsun.Bu durumda:
• 0
• k=0 ve Un yakınsak ise Vn yakınsak olur.
• k= ve Un ıraksak ise Vn ıraksak olur.
D’ALAMBERT KURALI:
Limit (Un+1/Un)= olsun.
n
• <1 ise yakınsak
• =1 ise belirsiz
• >1 ise ıraksak
RAABE KURALID’alambert belirsiz çıkarsa uygulanır.)
Limit n(Un+1/Un)-1= olsun.
n
• <-1 ise yakınsak
• =-1 ise belirsiz
• >-1 ise ıraksak
P SERİSİ:
an=1/np ise
• P1 ise ıraksak
• P>1 ise yakınsak
CAUCHY(KÖK TESTİ):
Limit n Un = olsun.
n
• <1 ise yakınsak
• =1 ise belirsiz
• >1 ise ıraksak
TEOREM(LİMİT TESTİ):
Limit ka.ak = olsun.
n
• 0≤+ ve a1 ise yakınsak
• 0 ve a1 ise ıraksak
İNTEGRAL KURALI:
f(x) dx=y azalan bir seri olsun.
k=1
• y belirli ise yakınsak.
• y belirsiz ise ıraksak
BERTRAND KURALI:
Limit Ln(1/ak) =y olsun.
n Lnk
• y1 ise ıraksak
• y1 ise yakınsak.
ALTERNATİF SERİLER:
Un yazılır ve normal bir seriymiş gibi incelenir.
1. Yakınsaksa,mutlak yakınsak.
2. Iraksak ama Limit Un =0 ise şarta
n
bağlı yakınsak.
3. Iraksak ve Limit Un 0 ise kesin
n
ıraksak.
KUVVET SERİLERİ:
Limit Un+1/ Un =0 bulunursa yakınsaklık aralığı; -X+ bulunur.
n
1. Un yazılır ve Limit Un+1/ Un hesaplanıp k sonucu bulunur.
n
2. k <1 ifadesi yazılır ve a
• Limit Un+1/ Un =0 bulunursa yakınsaklık aralığı; -X+ bulunur.
n
• X2n+1 <1 gibi bir şey söz konusu olursa,n=1 diyerek işleme devam edilir.
3. r (yakınsaklık yarıçapı)= a-b/2
MAC-LAURİN FORMÜLÜ:
f(x)= f(0)+x. f '(0) +x2. f ''(0) +x3. f '''(0) +x4. f(4)(0) + . . . +xn. f (n)(0)
1! 2! 3! 4! n!
Rn=Xn+1 . f(n+1)(x) / (n+1)! (0<1)
TAYLOR FORMÜLÜ:
f(x)= f(a)+(x-a). f '(a) +(x-a)2. f ''(a) +(x-a)3. f '''(a) +(x-a)4. f(4)(a) + . . . +(x-a)n. f (n)(a)
1! 2! 3! 4! n!
Rn=(x-a)n+1 . f(n+1)a+(x-a) / (n+1)! (0<1)
TRİGONOMETRİ:
-1sinx+1 f(x)=secx=1/cosx sin2x+cos2x=1
-1cosx+1 f(x)=cosecx=1/sinx cos2x= cos2x-sin2x
-tgx+ sin=360+ sin 2 cos2x=1+cos2x ise cos2x=(1+cos2x)/2
-cotx+ 2 sin2x=1-cos2x ise sin2x=(1-cos2x)/2
cos3x=(1-sin2x)cosx
y=arcsinx=sin-1x=1/sinx
x=siny ise y=arcsinx
YARIM AÇI FORMÜLLERİ:
• sin2a=2 sina.cosa sin2a=2tana/1+tan2a
• cos2a=cos2a-sin2a cos2a=1-tan2a/1+tan2a
=-2cos2a-1
=1-2sin2a
• tan2a=2tana/1-tan2a cot2a=cot2a-1/2cota
• sina=2sin(a/2).cos(a/2)=2tan(a/2)/1+tan2(a/2)
• cosa=cos2(a/2)-sin2(a/2)=2 cos2(a/2)-1=1- 2sin2(a/2)
TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ:
• sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa
• sin(a-b) = sina.cosb-sinb.cosa
• cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
• cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
• tan(a+b)=tana+tanb/1-tana.tanb tan(a-b)= tana-tanb/1+tana.tanb
• cot(a+b)=cota.cotb-1/cota+cotb cot(a-b)=cota.cotb+1/cota-cotb
TOPLAM VEYA FARKIN ÇARPIM ŞEKLİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ:
a+b=p ve a-b=q olmak üzere ;
• sinp+sinq = 2.sin(p+q)/2.cos(p-q)/2
• sinp-sinq = 2.sin(p-q)/2.cos(p+q)/2
• cosp+cosq = 2cos(p+q)/2.cos(p-q)/2
• cosp-cosq = -2sin(p+q)/2.sin(p-q)/2
• tanp+tanq=sin(p+q)/cosp.cosq tanp-tanq=sin(p-q)/cosp.cosq,
• cotp+cotq=sin(p+q)/sinp.sinq cotp-cotq=sin(p-q)/sinp.sinq
ÇARPIMIN TOPLAM YADA FARKA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ:
• sina.cosb =1/2sin(a+b)+sin(a-b)
• sina.sinb = -1/2cos(a+b)-cos(a-b)
• cosa.cosb =1/2cos(a+b)+cos(a-b)
LOGARİTMA:
• ax=y ise x=log ay
• log aa=1
• n+1)/nn=1+(1/n)n=e=2,7371... ; n/(n+1)n=1-(1/n+1)n=1/e
• ln0=belirsiz; ln1=0(büyün tabanlarda birin logaritması 0’dır.); ln2=0,6; lne=1; ln3=1,09; ln=
• Negatif sayıların logaritması tanımsızdır.
• Lny=x ise ex=y
• LogA.B=logA+logB
lnA.B =lnA +lnB
Ln(A/B)=lnA-lnB
LnAn=n.lnA
ln =(1/2)lnA
A
Ln m An (n/m)lnA (m2)
DENKLEM ÇÖZÜMÜ:2 bilinmeyenli denklemi çözer iken;
=b2-4ac
X1,2=( -b )/2a .Değişken ne ise,onların dışındakiler sabittir.
DİFERENSİYEL DENKLEMLER:
TANIM:Bir serbest X değişkeni;X’in y=f(X) fonksiyonu ve y’nin n.mertebeye kadar olan türevleri arasında,F(x,y,y',y'',...,y(n))=0 şeklinde ifade edilen bağıntıya n.mertebeden diferensiyel denklem denir.Örnek olarak;xy-y'=0 ve y+y'=0 verilebilir.
TANIM:Mesela burada y'-xy=0 diferensiyel denklemini göz önüne alalım.Çözümleri; y=Cex2/2 olur.Bir diferensiyel denklemin meydana getirdiği bütün çözümlere,diferensiyel denklemin genel çözümü veya genel integrali denir.C yerine keyfi sayılar vererek elde edeceğimiz çözüme de özel çözümleri denir.
Bir özel çözümün gösterdiği eğriye; diferensiyel denklemin integral eğrisi denir.Bazen,özel çözümün özel hali olmayan çözümlerde bulunabilir.Böyle çözümlere tekil(singular) çözüm denir.
TANIM:Geometri de,bir eğri ailesinin bütün eğrileri;aynı bir eğriye(doğruya) teğet iseler bu eğriye,eğri ailesinin zaafı denir.
BİR DİFERENSİYEL DENKLEMİN TEŞKİLİ:
n tane keyfi sabite bağlı olan bir fonksiyon ailesini göz önüne alalım.Keyfi sabitlerin her birine keyfi değerler verelim.Bu değerlerlerin tamamı bir eğri ailesi meydana getiriler.İşte bu eğri ailesini bulma işlemine,bir diferensiyel denklemini teşkil etme denir.
Keyfi değerleri,türev alarak veya kendisini ve türevlerini birbirinden çıkararak yok edebiliriz.
1.MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER:
Burada diferensiyel denklemin verilip,sonucunun elde edilmesi söz konusudur.Önceden sonucu bilinip, diferensiyel denklem teşkil ediliyordu.
1. Değişkenleri ayrılabilir diferensiyel denklemler:Çözüm için,y' yerine dy/dx yazılmalı ve x’li kısmın integraline C eklenmelidir.
2. Homojen diferensiyel denklemler:y'=(y/x) şeklindeki denklemlere; Homojen diferensiyel denklemler denir.y=y ve x=x(R;0) yazıldığında,diferensiyel denklem aynı kalıyor ise veya x ve y’ye bağlı değerler kendi aralarında gruplandırılamıyor ise denklem homojendir.
Çözüm için;U=y/x; y=Ux ve y'=U'x+U denklemlerinden yararlanılır.Böylece denklem; gruplandırılabilir yani değişkenlerine ayrılabilir hale gelir.Daha sonra 1. sırada yazılmış (yukarıda) çözüm uygulanır.
3. Lineer diferensiyel denklemler:Bir lineer denklem; y'+f(x)y=g(x) şeklinde ifade edilir. Bazen f(x) bulunmayabilir.y'+f(x)y=0 denklemine ikinci tarafsız denklem adı verilir. Değişkenlerine ayrılabilen bir denklemdir.Çözümü şu şekilde yapılır:
• İlk olarak,ikinci tarafsız denklem, y'+f(x)y=0 üzerinde işlem yapılır.Değişkenlerine ayrılabilir bir diferensiyel denklem olarak bilindiğinden,buradan hareketle,y c’ye bağlı bir denklem olarak ortaya konur.
• y',c X’e bağlı bir fonksiyon olarak kabul edilerek hesaplanır.
• Ana denklemde, y' ve y yerine konur ve C hesaplanır.Sabiti k olarak ele alınır.
• İlk maddede hesaplamış olduğumuz y fonksiyonundaki C yerine,hesaplamış olduğumuz c yazılır.Son denklemde sabitimiz k’dır.
İkinci çözüm yolu ise şu şekildedir:
• y=UV ve y'=U'V+V'U şeklinde dönüşüm yapılır ve denklemde yerine yazılır.
• U parantezine alınıp,parantezin içi sıfıra eşitlenerek,değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklem haline dönüştürülür ve çözümü yapılarak V bulunur.Sabit kullanılmaz.
• Denkleme geri dönülür.V yerine yazılır ve yine parantezin içi 0 kabul edilir. Değişkenlerine ayrılabilen diferensiyel denklem haline dönüşür.U bulunur.Sabit k kabul edilir.
• U ve V yerine yazılarak y elde edilir.
4. Bernoulli diferensiyel denklemler:y'+f(x)y+yng(x)=0 (n1,n R)şeklindeki denklemlerdir. Çözümü şu şekilde yapılır:
Z=1/yn-1 dönüşümü yapılır.y' ve y hesaplanır ve denklemde yerine yazılır.
Denklem lineer hale bu şekilde dönüşmüş olur.Daha sonra lineer denklem çözülür ve z’nin mevcut değeri y olarak yerleştirilir.(Z=1/yn-1 dönüşümünden çekilerek)
5. Riccati diferensiyel denklemleri:y'+f(x)y+y2g(x)+(x)=0 şeklindeki diferensiyel denklemler. Bu tip diferensiyel denklemler,ancak özel çözümlerinin bilinmesi durumunda çözülebilir.
Denklemi;kalıbından veya özel çözümünün soruda verilmesinden tanıyabiliriz.Çözümü şu şekildedir:
Özel çözümü y1 kabul edip,Z’nin x’e bağlı bir fonksiyon olduğu bilinmek üzere;y=y1+1/Z dönüşümü yapılır.
y' hesaplanır ve denklemde y ve y' yerine yazılır.
Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra denklem,genelde bernoulli diferensiyel denklemine dönüştür.Ama nadiren,başka diferensiyel denklemlere dönüştürülebilir.
Yeni diferensiyel denklem çözülür ve Z fonksiyonuna eşit bir diferensiyel denklem elde edilir. y=y1+1/Z fonksiyonunda Z yerine onulur ve çözüm elde edilir.
6. Toplam diferensiyel denklemlerinin çözümü:
x y= f(x) ve dy= f '(x) dx ise y'= f '(x)
Z= f(x+y) ise dz=(f/x)dx+(f/y)dy olur.(kısmi entegrasyon)
Kısmi entegrasyon metodu düşünülerek her iki tarafın integrali alınır ve ortak nokta bulunarak sonuç sentezlenir ve C sabitine eşitlenir.
Eğer integrasyonu tahmin ile elde edilemeyecek zorlukta ise(bunun yanı sıra,kolay olarak çözümü yapılabileceklere de uygulanabilir) şu metot uygulanır.
I. dx’in önündeki fonksiyona P,dy’nin önündeki fonksiyona Q denir.
II. P’nin y’ye göre kısmi türevi alınarak P(y),Q’nun x’e göre kısmi türevi alınarak Q(x) hesaplanır.
III. Eğer P(y)=Q(x) ise;denklemin tamamının integrasyonu alınarak,C sabitine eşitlenir.
IV. Çözümde;fonksiyon içindeki denk parçalar,bir kez yazılır.
7. İntegral Çarpanı:Eğer P(y)Q(x) ise her iki tarafı gibi bir fonksiyon ile çarpıp, P(y)=Q(x) şekline getirerek,toplam(tam) diferensiyel denkleminin çözümünü uygularız. P(y)=Q(x) yapmak için şu yol izlenir:
(y)P-(x)Q=(Q(x)-P(y)) formülü uygulanır.
Eğer x’e bağlı bir integral çarpanı isteniyorsa (y),eğer y’ye bağlı bir integral çarpanı isteniyor ise (x) ‘0’ olur.
hesaplandıktan sonra,denklemin her iki tarafı ile çarpılır.
Eğer x ve y’ye bağlı bir integral çarpanı isteniyorsa ana denklem uygulanır.Bu durumda aşağıdaki şekilde işlem yapılır:
(x)=(t(x))'. '(t) ve (y)=(t(y))'. '(t) dönüşümleri yapılarak (y)P-(x)Q=(Q(x)-P(y)) denkleminde yerine yazılır.
Denklemin sol tarafı ' parantezine alınarak,eşitliğin her iki tarafında da gerekli sadeleştirmeler yapılır. ('/=f(x,y) şekline dönüştürülür.f(x,y) fonksiyonu t’ye bağlı olarak entegre edilir ve hesaplanır.
Diğer iki türde de olduğu gibi,denklemin her iki tarafı ile çarpılarak,genel integrasyon başlatılır.
Konu: Türev 
